創業2015年当時応力測定の主流は、sin2ψ法でした。cosα法の機器に出会いその可能性に惚れてX線応力測定センターを起こしX線応力測定(cosα法)普及を目指して、測定サービスを始めました。

cosα法は、同等以上の精度と高速性で最近は、応力測定の主流に

その後、垂直応力の精度は、旧来法sin2ψ法と同等かそれ以上ということがわかり、その上に高速で軽量でシンプルということ、さらに、非破壊検査協会での長年の普及活動等により、cosα法は、急速に普及してきました。Google scholar で検索すると、最近５年間のヒット数では、cosα　method 13300件　sin2ψ method 4980件とcosα法が逆転して主流となっています。

お客様の要望を断らない方針でX線応力測定が困難だった対象を克服

お客さまから持ち込まれる様々依頼をできるだけ断らないをモットーに技術の向上に努めてまいりました。応力集中しやすいけど、入射角度が確保できないコーナー部の測定③⑤、細いワイヤー(ex φ0.4mm)②、チェーンリングの内側⑥が測定できるようになりました。[0225]X線応力測定が困難な対象へのアプローチ 

応力解析、応力状態推定の革新

しかしながら、応力の解析や応力状態の推定では、旧来法sin2ψ法の呪縛を解くことができずにいました。垂直応力のみを用いて主応力方向の応力値のみが正確という呪縛です。わかりやすくいうと、あらかじめ応力の方向がわかっている対象しか正確に測定できない。という縛りです。

当社では、垂直応力に加えてせん断応力を利用する解析法を開発することによりcosα法の本来のポテンシャル、任意の方向で正確な応力測定ができるを具現化しました。モールの応力円リバース特許第7513234号 

この技術も現場で使用された部品の複雑な応力場に対応するために開発されたものです。

1) [0199]モールの応力円 技術内容と溶接の例 

2)[0233]モールの応力円リバース解析 測定から解析例まで 

3)[0167]モール応力円による応力解析 

4)[0212] 次元の違う応力解析手法 

5)[0198]測定データからの主応力の求め方 

6)[0256]上級者・研究者向けモールの応力円リバースによる応力解析の数理的背景 

7)[0255]中級者向け解説：モールの応力円リバースの“技術的な仕組み”とは？ 

8)[0254]初心者向けモールの応力円リバース 

学協会活動　非破壊検査協会の

cosα法方式によるX線残留応力測定技術研究会

幹事として普及活動に励んでいます。

日時：2025 年 8 月 27 日（水）② 14:00-14:50 応力の実体 -ベクトル、テンソル、モール円について 〇三島由久（㈱Ｘ線残留応力測定センター）

 2025 年 1 月 31 日　① 10:10-10:50 モールの応力円リバース その２ 〇三島由久（㈱Ｘ線残留応力測定センター） （概略）第１回研究セミナーにおける cosα法を利用したモールの応力円とモールの応力円リバースに ついて実用例を含めて説明しました。今回は前回の復習を含め、答えられなかった質問への回答も準 備します。そのほか、疲労試験解析例について説明し、3 軸モールの応力円へのつなぎを含めて、協議 しながら進めたいと考えます。 対象分野：応力の 2 次元、3 次元解析を扱う業種 レベル：新しさは研究の最先端レベル 難易度：モールの応力円と同じ大学初等教育レベル Key words: モールの応力円、モールの応力円リバース、疲労解析、3 軸せん断応力

2024 年 8 月 29 日（木） X 線応力測定基礎 1 ① モールの応力円リバースを用いた 2 次元応力解析 13:30-15:30 〜応力解析は 2 次元(全方向)、さらに 3 次元へ〜 ○三島由久（㈱Ｘ線残留応力測定センター

応力値から応力状態へ

応力状態を見る3つのメリット

1. 応力と応力状態を高精度に推定できる

応力値は、応力状態を一つの測定方向へ投影した値である。
この投影値だけでは、応力に重なって現れる応力以外の成分を十分に分離できない。

そこで、多方向の応力値から応力状態を推定することで、応力状態に対応する成分を抽出し、不要成分の影響を低減できる。
その結果、応力状態だけでなく、そこから各測定方向へ投影される応力値についても高精度化できる。

平面応力では、釣合条件から、測定方向を180°反転しても同じ応力値になる。
一方、三軸応力状態では、表面内方向と表面法線方向の間に作用するせん断応力成分、すなわち τxz、τyz の影響が測定値に混入する。これらの成分は、測定方向を180°反転すると符号が反転する。

したがって、φ方向とφ＋180°方向の測定値を平均すると、平面応力に対応する成分は保持され、τxz、τyz に由来する反対称成分は相殺される。これにより、三軸せん断応力成分の影響を低減し、応力と応力状態を高精度に推定できる。

2. 応力関連現象を測定座標に依存せず解析できる

材料の変形や破壊などの応力関連現象は、単一方向の応力値だけではなく、主応力、主応力方向、主応力差、せん断応力などの応力状態によって決まる。

応力状態をモールの応力円として推定することで、これらを測定座標に依存しない形で求め、応力関連現象の原因を解析できる。

3. 測定値の妥当性を評価できる

一方向の応力値は応力状態の投影値であるため、その値だけを見ても、それが正しい投影値であるかを単独で評価することは困難である。

一方、多方向の応力値から推定した応力状態はモールの応力円として表すことができる。
そのため、多方向の測定値が作る測定多角形とモールの応力円との整合性を見ることで、各測定値が一つの応力状態を構成しているかを評価できる。

したがって、応力状態を求めることにより、応力値そのものの妥当性も評価できる。

応力値から応力状態へ ― MSCRによるX線応力測定

1. 応力値と応力状態

応力値とは、1点に存在する応力状態を、ある測定方向へ投影した値であり、垂直応力とせん断応力として表される。したがって、同じ位置を測定しても、測定方向を変えると応力値は変化する。

これに対して、1点に存在する応力状態そのものは、測定方向によって変化しない。

平面応力状態における方向別の垂直応力とせん断応力は、

σ(φ) ＝ C ＋ A cos 2φ ＋ B sin 2φ

τ(φ) ＝ −A sin 2φ ＋ B cos 2φ

と表すことができる。

したがって、

σ(φ＋180°) ＝ σ(φ)

τ(φ＋180°) ＝ τ(φ)

となる。

これは平面応力の釣合条件から得られる180°反転不変性であり、応力状態を異なる測定方向へ投影しても、180°対向方向では同じ応力値になることを意味する。

一方向の垂直応力だけを測定しても、

• その値が主応力であるか

• 主応力方向がどこにあるか

• せん断応力がどの程度存在するか

• 別方向により大きな垂直応力が存在するか

• 主応力差がどの程度であるか

は分からない。

したがって、応力現象を評価するためには、一方向の応力値だけでなく、多方向の垂直応力とせん断応力から、1点の応力状態を推定する必要がある。

2. 応力状態の三つの表現

平面内の1点に存在する応力状態は、次の三つの形式で表すことができる。

1. 応力テンソル

2. 主応力および主応力方向

3. モールの応力円

これらは異なる応力状態ではなく、同じ応力状態を異なる形式で表したものである。

応力テンソルは、設定された座標における垂直応力とせん断応力によって表す。

主応力表示では、せん断応力がゼロになる方向と、その方向の垂直応力によって表す。

モールの応力円では、方向によって変化する垂直応力とせん断応力を σ–τ 平面上の円として表す。

モール円の中心は平均応力、半径は最大せん断応力であり、主応力差の半分に等しい。

3. MSCRの基本原理

cosα法では、二次元検出器で取得したDebye環全周から、一回の測定で垂直応力とせん断応力を求めることができる。cosα法が二次元検出器上のDebye環全周を利用し、垂直応力とせん断応力を同時に求める方法であることは、cosα法のレビューでも整理されている。

MSCR（Reverse Construction of Mohr's Stress Circle）は、このcosα法による測定を複数方向で行い、得られた垂直応力とせん断応力を統合して、元の応力状態を逆構成する方法である。

各測定方向から得られた

(σ, τ)

をσ–τ平面上に配置すると、測定点群、すなわち測定多角形が得られる。

この測定点群から、

σ(φ) ＝ C ＋ A cos 2φ ＋ B sin 2φ

τ(φ) ＝ −A sin 2φ ＋ B cos 2φ

に対応する2次成分を抽出し、モールの応力円を推定する。

通常のモール円では、

応力テンソル
↓
モール円

の順に計算する。

MSCRではこれを逆に、

多方向の実測応力
↓
モール円
↓
応力状態

として再構成する。

これが「Reverse Construction」の意味である。

4. MSCRで応力と応力状態を高精度化する

MSCRの第一のメリットは、応力状態を求めること自体ではなく、まず応力と応力状態を高精度に推定できることである。

一方向の応力値は、応力状態の一つの方向への投影である。

この投影値には、目的とする平面応力成分だけでなく、それ以外の方向依存成分が重なって現れることがある。

その代表例が、表面内方向と表面法線方向の間に作用する三軸せん断応力成分 τxz、τyz である。

X線回折における三軸応力の一般式では、この成分は、

τφ ＝ τxz cos φ ＋ τyz sin φ

として現れ、回折ひずみには、

τφ sin 2ψ

に比例する成分として加わることが知られている。

φを180°反転すると、

cos(φ＋180°) ＝ −cos φ

sin(φ＋180°) ＝ −sin φ

であるため、

τφ+180° ＝ −τφ

となる。

一方、平面応力成分は cos 2φ、sin 2φ で表されるため、

cos 2(φ＋180°) ＝ cos 2φ

sin 2(φ＋180°) ＝ sin 2φ

となり、180°反転しても変化しない。

したがって、

測定値(φ) ＋ 測定値(φ＋180°)
────────────────────
　　　　　　　 2

という180°対向平均を行うと、

• 平面応力に対応する2次成分は保持される

• τxz、τyz に由来する1次成分は相殺される

という処理になる。

cosα法についても、τ13、τ23 が存在すると算出される面内応力にそれらの項が加わることが、三軸応力を扱った最近の研究でも明示されている。

したがって、MSCRでは、

多方向測定
↓
180°対向平均
↓
不要な反対称成分の低減
↓
cos 2φ、sin 2φ 成分の抽出
↓
応力状態の推定

という信号処理によって、応力状態だけでなく、そこから各方向へ投影される応力値についても高精度化できる。

5. 応力状態を見る三つのメリット

5.1 応力と応力状態を高精度に推定できる

一方向の投影値だけでは分離できない方向依存成分を、多方向測定、180°対向平均および2次基底関数成分の抽出によって低減できる。

そのため、応力状態の推定精度が向上するとともに、推定された応力状態から得られる各方向の応力値も高精度化できる。

5.2 応力関連現象を測定座標に依存せず解析できる

応力状態を求めると、

• 主応力

• 主応力方向

• 主応力差

• 最大せん断応力

• 平均応力

• 各方向の垂直応力

• 各方向のせん断応力

• フォン・ミーゼス応力などの応力評価量

を求めることができる。

一方向の応力値が、

「この測定方向では何MPaであるか」

を表すのに対し、応力状態では、

「どの方向に主応力が存在し、平均応力、主応力差、せん断応力がどの程度存在するか」

を評価できる。

測定方向を変更すると応力値は変化するが、主応力、主応力差およびモール円そのものは測定座標の設定によって変わらない。

したがって、破壊、疲労、変形、加工などの応力関連現象を、測定軸ではなく材料に存在する応力状態として解析できる。

5.3 測定値の妥当性を評価できる

一方向の応力値は応力状態の投影値である。

そのため、

「測定値が300 MPaであった」

という一つの値だけを見ても、その300 MPaが正しい投影値であるかを単独で判断することは困難である。

一方、多方向の応力値は、同じ1点の応力状態から生じたものであれば、一つのモール応力円に対応しなければならない。

MSCRでは、多方向の測定値をσ–τ平面上に配置し、測定多角形と推定したモール円を同時に表示できる。

したがって、

測定多角形
⇔
モール応力円

の整合性を見ることで、測定値が一つの応力状態を構成しているかを評価できる。

測定点群がモール円から外れる場合には、

• 集合組織

• 粗大結晶

• 応力勾配

• 測定位置のずれ

• 局所的不均一

• 回折信号の異常

• 測定方向ごとのばらつき

など、応力以外の成分の影響を検討することができる。

つまりMSCRは、応力状態を求める方法であると同時に、応力測定そのものの妥当性を評価する方法でもある。

6. MSCRによる応力状態の可視化

MSCRでは、応力状態を多数の数値としてだけでなく、モールの応力円として表示できる。

モール平面上では、

• 円の中心：平均応力

• 円の半径：最大せん断応力

• 円の直径：主応力差

• 円の左右端：主応力

• 円上の位置：各方向の垂直応力とせん断応力

• 測定点群の形状：方向依存性

• 測定点群と円とのずれ：応力状態との不整合

として読み取ることができる。

このため、応力状態、高精度化の結果、測定値の妥当性を一つの図の中で確認できることがMSCRの特徴である。

7. MSCRの利用

7.1 破壊・疲労・変形評価

一方向の垂直応力だけでなく、主応力、主応力差、最大せん断応力、主応力方向などを実測値から求めることができる。

そのため、フォン・ミーゼス応力など、応力状態に基づく評価量へ接続できる。

7.2 加工履歴の評価

切削、研削、圧延、曲げ加工、ショットピーニングなどによって形成された残留応力状態を、

• 平均応力の変化

• 主応力差の変化

• 主応力方向の回転

• 測定多角形の形状

として比較できる。

7.3 表面処理の品質管理

ショットピーニング、窒化、焼入れ、PVD、CVD、レーザ処理などでは、単に「圧縮応力が何MPaか」だけでなく、

• 平均応力

• 主応力差

• 方向性

• 主応力方向

• 測定点群の整合性

を同時に評価できる。

7.4 溶接・肉盛り・異材接合部

溶接線、熱影響部、肉盛り境界、異材界面などについて、

• 主応力

• 主応力方向

• 主応力差

• 最大せん断応力

• 平均応力

の位置変化として応力状態を比較できる。

7.5 工程比較と条件選定

工程条件AとBについて、

• モール円中心の移動

• モール円半径の変化

• 主応力方向の回転

• 測定点群のばらつき

• モール円との整合性

を比較することで、単一方向の応力値だけでは区別できない工程差を評価できる。

8. FEMとの比較

有限要素法では、各計算点の応力は応力テンソルとして保持される。

そのためFEMでは、

• 垂直応力

• せん断応力

• 主応力

• 主応力方向

• 最大せん断応力

• フォン・ミーゼス応力

などを表示できる。

これに対して、一方向のX線応力値だけをFEMと比較すると、

FEM：応力状態
X線：応力状態の一方向への投影値

を比較することになる。

MSCRでは、X線による多方向測定から応力状態を再構成するため、

FEMによる応力状態
⇔
X線実測による応力状態

として比較できる。

比較対象には、

• 主応力

• 主応力差

• 主応力方向

• 最大せん断応力

• 平均応力

• フォン・ミーゼス応力

• モール円の中心と半径

を用いることができる。

9. MSCRの位置づけ

MSCRの本質は、多方向の応力値を多数取得することではない。

多方向から得られた垂直応力とせん断応力を統合し、応力以外の方向依存成分の影響を低減した上で、1点に存在する応力状態を再構成することにある。

したがって、MSCRの特徴は次の三点に集約できる。

1. 応力と応力状態を高精度に推定できる

多方向測定、180°対向平均および応力状態に対応する2次成分の抽出によって、応力以外の成分の影響を低減する。

2. 応力関連現象を測定座標に依存せず解析できる

主応力、主応力方向、主応力差、最大せん断応力などを応力状態として求めることができる。

3. 測定値の妥当性を評価できる

測定多角形とモール応力円との整合性から、多方向の測定値が一つの応力状態を構成しているかを評価できる。

したがってMSCRは、単に一方向の応力値を求める方法ではなく、

応力測定の高精度化、応力状態の解析、測定結果の妥当性評価を一つの処理体系として行う方法

と位置づけることができる。

[0245]モールの応力円リバース解析総括 

モールの応力円リバース 技術体系 導線マップ

【A. 基礎レベル（従来理論ゾーン）】

   ├─ [0197] ロゼットゲージによる主応力解析（旧来手法）

   ├─ [0199] モールの応力円：原理・方向変換・溶接例

   └─ [0219] モールの応力円の扱い（教科書レベルの基礎）

        ↓ 基礎を理解後、次の段階

-------------------------------------------------------

【B. 準基礎レベル（リバース解析の概念導入）】

   ├─ [0167] 主応力解析 by モールの応力円リバース

   ├─ [0173] 測定できない方向の応力を推定する（応用の入口）

   └─ [0212] 次元の違う応力解析手法（従来とリバースの比較）

        ↓ ここで“リバースの基本概念”を理解

-------------------------------------------------------

【C. 中核レベル（モールの応力円リバースの中心ページ）】

▶ **【中心】 [0245] モールの応力円リバース解析 総括（総本山）**

※ 全ページは最終的にここへ収束する構造

        ↓ この総括から下位の技術的ページへ展開

-------------------------------------------------------

【D. 分解レベル（難易度別に三層構造）】

   【初心者向け】

   └─ [0254] 初心者向けモールの応力円リバース

        ・概念の図示

        ・σとτの違い

        ・なぜ“リバース”と呼ぶのか

   【中級者向け】

   └─ [0255] モールの応力円リバースの“技術的仕組み”

        ・σ＋τの活用

        ・多方向測定

        ・誤差相殺

        ・円フィッティング

   【上級者向け】

   └─ [0256] 数理的背景（数式による裏付け）

        ・座標変換

        ・円の最適フィッティング

        ・誤差分布

-------------------------------------------------------

【E. 実務・応用レベル（現場で役立つページ群）】

   ├─ [0233] 測定〜解析例（実測例：8方向・疲労・溶接）

   ├─ [0239] 2次元・全方向・応力変化の可視化

   ├─ [0262] 適用範囲：せん断応力が必要な場合

[0173]測定できない方向の応力を推定する。モールの応力円リバース 

[0199]モールの応力円 技術内容と溶接の例 

[0245]モールの応力円リバース解析総括 

[0256]上級者・研究者向けモールの応力円リバースによる応力解析の数理的背景 

[0167]主応力解析byモールの応力円リバース 

[0255]中級者向け解説：モールの応力円リバースの“技術的な仕組み”とは？ 

[0254]初心者向けモールの応力円リバース 

[0239] 2次元・全方向・モールの応力円で見る応力変化 

[0212] 次元の違う応力解析手法-モールの応力円リバース