[0199]モールの応力円の基礎理論と溶接部の応力例｜主応力の求め方と方向変換を図解

モールの応力円は、平面応力状態における垂直応力とせん断応力の関係を図形として表現し、主応力や応力の方向変換を直感的に理解できる基礎理論です。本ページでは、0°と180°の対称性やcosθが効く理由、そして溶接部の応力例を用いて実際の応力状態をモール円で解説します。

モールの応力円は, X線応力測定の教科書の最初の方に記載されている基本的な原理です。モールの応力円の特徴を具体例を持って説明します。また、モールの応力円を使った当社の特許解析技術 モールの応力円リバース解析はこちら特許第7513234号を紹介します。

AI要約

✔ モールの応力円の基礎・定義

• 応力の方向変換
  
  

• 主応力の求め方
  
  

• 垂直応力・せん断応力の関係
  
  

✔ なぜ 0° と 180° の点が対称なのか

✔ なぜ cosθ が効くのか（材料力学で最も誤解されやすい部分）

✔ X線応力測定に必要な前提理論であること

→ リバース解析の前段階として重要

✔ 溶接部の例でモール円の“意味”を理解できる

→ 理論だけでなく実測応力の例がある点を強調

モールの応力円の基本的な特徴

1. 2次元応力状態の可視化

   • 材料内のある点における平面応力状態を視覚的に表現する方法。

   • 主応力やせん断応力の大きさを簡単に求めることができる。

2. 応力の変換が容易

   • ある座標系での応力状態を異なる座標系（例えば、回転した座標系）へ変換するのに便利。

   • 応力成分がどの角度で最大・最小になるかを直感的に理解できる。

3. 主応力と主方向の決定

   • モールの応力円上の最大・最小の応力値が主応力。

   • せん断応力がゼロとなる2つの点が主応力の方向を示す。

4. 180度異なる応力は同じ位置にある

   • 0度と180度、45度と225度、90度と270度のように180度異なる点は、つり合い条件から同じ応力値を示す。

5. せん断応力と法線応力の関係

   • モールの応力円では、せん断応力（τ）は円の縦軸、法線応力（σ）は円の横軸にプロットされる。

   • せん断応力が最大となるのは、主応力の45度方向（モール円上の90度の位置）。

モールの応力円を応力1が0−180度方向に加わる場合で考えましょう。

単純に1の力を角度を変えて測定すると結果は、単位円になります。ところが、モールの応力円では、中心(1/2,0) 半径1/2の円になります。

違いは、cosθがかかっているかどうか

なぜcosθがかかっているかどうかというと。測定面が回転すると測定面が(1/cosθ)大きくなって、それで応力にcosθがかかっています。

一般化された平面応力場のモールの応力円は、以下のようになります。

円は、1点の360度の応力とせん断応力をグラフィカルに示します。ただし、釣り合いの条件により0度と180度、90度と270度等の180度差の応力は同じになるはずです。したがって180度差同じ角度に表示されます。

3D 造形応力解析

モールの応力円から360度の応力を推定する。 各方向の応力を推定する。

1-1-4 Mohrの応力円 P8-10 改著 X線応力測定法 日本材料学会編 養賢堂

1.1.4 モールの応力円 P8 残留応力のX線評価 -基礎と応力-  田中啓介他

各方向の応力からモールの応力円( 応力状態)を推定する方法。モールの応力円リバース

以下モールの応力円と実測のせん断応力を用いた応力状態推定技術

モールの応力円は、計算に用いられた例はあっても、解析に用いられることはありませんでした。せん断応力が実測できなかったためです。

2012年にせん断応力が測定できる測定器が販売されて、それが普及したために実測のせん断応力を使用した当社の解析方法が開発されました。

モールの応力円リバースは、応力場の応力状態が推定できます。

これまでの測定で応力状況がわからない場合にお試しください。

モールの応力円リバースの特徴

1. 平面応力場が図示できる。つまり360度の応力が推定できます。

2. つまり、主応力の図示ができる。つまり、測定できない方向の応力が推定できる。

①平面応力場、②応力が重畳している場合、③ 三軸応力発生している場合で2~8方向の測定が必要です。2点まで送料のみでお試し解析します。

測定データは公開を原則とします。会社名、用途、部品形状等は非公開で応力とせん断応力のデータと材質のみ公開とします。

モールの応力円を使った当社の特許解析技術 モールの応力円リバース解析はこちら

詳しくは、お問合せフォーム または メール mishima@stress.co.jp にてお願いします。

モールの応力円リバース　モールの応力円を用いた高精度応力解析

「モールの応力円リバース（Mohr’s Stress Circle Reverse）」は、通常のモールの応力円とは逆の使い方をする独自の解析手法であり、視覚的・直感的に高精度な応力評価を可能にするグラフィックツールとしての特徴を以下のようにまとめることができます。

🔍 モールの応力円リバースのグラフィックツールとしての特徴

1. 視覚的・直感的に応力状態が把握できる

• 応力とせん断応力をXY座標上にプロットし、円として視覚的に描くことで、主応力やその方向が一目でわかる。
  
  

• 実測値（複数方向のσとτ）をそのまま利用して応力状態を「描く」アプローチ。
  
  

• 数式よりも感覚的な理解が優先されるため、教育ツールや現場でのコミュニケーションにも最適。
  
  

2. 180度回転対称性を活用した高精度化

• 0度と180度、45度と225度といった180度対の測定結果の平均化により、z軸方向のせん断応力（τxz, τyz）を相殺。
  
  

• 測定方向が増えるほど、誤差の平均化によって精度が向上（＝GPSの精度向上と同じ原理）。
  
  

3. せん断応力を活用する唯一の2次元ツール

• 従来のsin²ψ法ではせん断応力は使われなかったが、cosα法の2次元センサーにより得られるせん断応力を最大限に活用。
  
  

• 全方向の応力情報を直交座標系にプロットすることで、方向依存性を明確に視覚化できる。
  
  

4. 簡便なツールとしての優位性

• 方眼紙とコンパスで描けるほどシンプル。特別な解析ソフト不要。
  
  

• 例えば、測定点が8方向であれば、コンパスで円を描いて応力を「見る」ことが可能。
  
  

5. 誤差に強い構造

• 通常の主応力計算（3方向法）と違い、2方向からでも主応力が推定可能。
  
  

• 測定方向を固定せず、方向に依存しない解析が可能。方向ごとの誤差が見える・補正できる構造。
  
  

✅ 特に役立つ場面

• 微小な応力変化の検出（例：疲労試験前後の応力差が ±20MPa 程度でも検出可能）。
  
  

• 応力集中部、曲面部、三軸応力場など、従来法では困難だった形状の応力評価。
  
  

• 現場での即時判断が求められる場面（装置不要でグラフ化が可能）。

モールの応力円リバース 技術体系 導線マップ

【A. 基礎レベル（従来理論ゾーン）】

   ├─ [0197] ロゼットゲージによる主応力解析（旧来手法）このページ

   ├─ [0199] モールの応力円：原理・方向変換・溶接例

   └─ [0219] モールの応力円の扱い（教科書レベルの基礎）

        ↓ 基礎を理解後、次の段階

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【B. 準基礎レベル（リバース解析の概念導入）】

   ├─ [0167] 主応力解析 by モールの応力円リバース

   ├─ [0173] 測定できない方向の応力を推定する（応用の入口）

   └─ [0212] 次元の違う応力解析手法（従来とリバースの比較）

        ↓ ここで“リバースの基本概念”を理解

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【C. 中核レベル（モールの応力円リバースの中心ページ）】

▶ **【中心】 [0245] モールの応力円リバース解析 総括（総本山）**

※ 全ページは最終的にここへ収束する構造

        ↓ この総括から下位の技術的ページへ展開

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【D. 分解レベル（難易度別に三層構造）】

   【初心者向け】

   └─ [0254] 初心者向けモールの応力円リバース

        ・概念の図示

        ・σとτの違い

        ・なぜ“リバース”と呼ぶのか

   【中級者向け】

   └─ [0255] モールの応力円リバースの“技術的仕組み”

        ・σ＋τの活用

        ・多方向測定

        ・誤差相殺

        ・円フィッティング

   【上級者向け】

   └─ [0256] 数理的背景（数式による裏付け）

        ・座標変換

        ・円の最適フィッティング

        ・誤差分布

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【E. 実務・応用レベル（現場で役立つページ群）】

   ├─ [0233] 測定〜解析例（実測例：8方向・疲労・溶接）

   ├─ [0239] 2次元・全方向・応力変化の可視化

   ├─ [0262] 適用範囲：せん断応力が必要な場合

[0173]測定できない方向の応力を推定する。モールの応力円リバース 

[0199]モールの応力円 技術内容と溶接の例 

[0245]モールの応力円リバース解析総括 

[0256]上級者・研究者向けモールの応力円リバースによる応力解析の数理的背景 

[0167]主応力解析byモールの応力円リバース 

[0255]中級者向け解説：モールの応力円リバースの“技術的な仕組み”とは？ 

[0254]初心者向けモールの応力円リバース 

[0239] 2次元・全方向・モールの応力円で見る応力変化 

[0212] 次元の違う応力解析手法-モールの応力円リバース