cosα法のせん断応力測定機能と統合することで，モールの応力円は可視化ツールから応力状態を推定する解析ツールへと拡張された。

モールの応力円の再構築(MSCR)は、複数方向から実測した垂直応力σとせん断応力τを用いて主応力を推定する特許技術（特許第7513234号）です。本ページでは、cosα法との相性の良さ、多方向測定による誤差相殺、円フィッティングによる精度向上など、この手法の“技術的な仕組み”を中級者向けに解説します。

［0255］MSCRが応力状態を再構成する技術的な仕組み

MSCR（モールの応力円リバース）は、cosα法によって複数方向で測定した垂直応力とせん断応力から、主応力を含む応力状態を再構成する方法です。

特許第7513234号

MSCRによる応力状態再構成の流れ

1. cosα法で垂直応力とせん断応力を測定する

2. 測定方向φを変えて多方向を測定する

3. 180°対向方向の測定値を平均する

4. 測定結果をσ–τ平面上に配置する

5. 応力状態に対応する二次成分を抽出する

6. モールの応力円を推定する

7. 主応力、主応力方向などを算出する

8. 測定点群とモール円との整合性を評価する

1．cosα法で垂直応力とせん断応力を測定する

cosα法では、二次元検出器によってデバイ環を取得します。

デバイ環上の回折角変化から、指定した測定方向φにおける、

• 垂直応力 σϕ

• せん断応力 τϕ

を求めます。

一回の測定によって、一つの測定方向に対応する垂直応力とせん断応力の組、

(σϕ,τϕ)

が得られます。

2．測定方向を変えて多方向を測定する

同じ測定位置について、試料表面内の測定方向φを変えて測定します。

測定方向の例は、

0∘, 45∘, 90∘, 135∘

または、

0∘, 45∘, 90∘, 135∘, 180∘, 225∘, 270∘, 315∘

です。

各測定方向から、

(σ0,τ0), (σ45,τ45), (σ90,τ90), …

という複数の応力データが得られます。

3．180°対向方向の測定値を平均する

平面応力状態では、測定方向φと、その対向方向φ＋180°は釣合から同じ垂直応力、せん断応力となります。

したがって、

σϕ+180∘=σϕ τϕ+180∘=τϕ

となります。

MSCRでは、対向する二つの測定値を平均します。

σˉϕ=average(σϕ,σ(ϕ+180))

τˉϕ=average(τϕ,τ(ϕ+180))

180°の方向反転によって符号が変わる奇数次成分は、この平均処理によって相殺または低減されます。

180°の方向反転によって符号が変わる三軸せん断応力成分 τxz、τyz も対向平均によって相殺できます。

4．測定結果をσ–τ平面上に配置する

対向平均後の各測定値を、横軸を垂直応力σ、縦軸をせん断応力τとするσ–τ平面上に配置します。

各測定方向φは、一つの測定点、

(σˉϕ,τˉϕ)

として表されます。

複数方向の測定点を測定方向の順に結ぶと、多角形が形成されます。

この測定点群によって形成される多角形を、**三島の測定多角形（MSP）**と呼びます。

5．応力状態に対応する二次成分を抽出する

平面応力状態における方向別の垂直応力とせん断応力は、次式で表されます。

σ(ϕ)=Kcenter+Kσcos⁡2ϕ+Kτsin⁡2ϕ

τ(ϕ)=−Kσsin⁡2ϕ+Kτcos⁡2ϕ

ここで、

• Kcenter：モール円の中心

• Kσ：i成分の係数

• Kτ：sin⁡2ϕ成分の係数

です。

応力状態は、測定方向φに対して180°周期で変化します。そのため、応力状態に対応する信号は、

cos⁡2ϕ,sin⁡2ϕ

を基底とする二次成分として表されます。

MSCRでは、多方向の測定結果から、この二次成分の共通係数を推定します。

6．モールの応力円を推定する

係数 Kσと Kτ から、モール円の半径 R を求めます。

R=sqrt(Kσ^2+Kτ^2) 

モール円の中心は、

C=KcenterC

です。

したがって、推定されるモールの応力円は、

(σ−C)2^+τ^2

と表されます。

実測値には測定誤差や応力以外の成分が含まれるため、測定点が完全な円上に並ぶとは限りません。

MSCRでは、複数方向の測定結果に対して共通する Kcenter、Kσ、Kτを最小二乗法で抽出します。

7．主応力と主応力方向を求める

モール円の中心 C と半径 R から、最大主応力と最小主応力を求めます。

σ1=C+R

 σ2=C−R

主応力差は、

σ1−σ2=2R

最大せん断応力は、

τmax⁡=R

です。

角度φに対する応力の変化は、モール円上では角度2φの変化として表されます。

8．測定点群とモール円との整合性を評価する

理想的な平面応力状態では、各測定方向の垂直応力とせん断応力は、同一のモール円上に配置されます。

実測されたMSPと、推定されたモール円を比較することで、

• 測定点が円に沿っているか

• 各測定方向の位相関係が保たれているか

• 特定方向の測定点だけが外れていないか

• 対向する測定結果が一致しているか

• 応力状態に対応しない方向依存成分が含まれていないか

を評価できます。

測定点と推定円との距離は、各測定方向の残差として表せます。

残差が小さい場合、測定点群と推定された応力状態との整合性が高いことを示します。

cosα法とMSCRの関係

この計算方向の反転が、「モールの応力円リバース」の名称の由来です。

MSCRによって得られる値

• 最大主応力 σ1

• 最小主応力 σ2

• 主応力差 σ1−σ2

• 最大せん断応力 τmax

• 平均応力 C

• 任意方向の垂直応力

• 任意方向のせん断応力

• 測定点とモール円との残差

MSCRの再構成原理

MSCRにおける応力状態の再構成は、次の三つの処理で構成されます。

1．対向平均

average(ϕ,ϕ+180)

の測定値を平均し、方向反転によって符号が変わる成分を相殺または低減します。

2．二次成分の抽出

cos⁡2ϕ,sin⁡2ϕ

に対する共通係数を、多方向の測定結果から推定します。

3．幾何学的再構成

得られた中心、半径および位相から、モールの応力円と主応力状態を再構成します。

まとめ

cosα法によって、各測定方向の垂直応力とせん断応力を取得します。

MSCRでは、複数方向の測定結果に対して180°対向平均を行い、測定方向φに対する二次成分を抽出します。

その係数からモール円の中心、半径および位相を求め、主応力、主応力方向、主応力差および最大せん断応力を算出します。

測定点群と推定されたモール円との整合性から、測定結果の妥当性も評価できます。

関連ページ

• ［0245］MSCR技術体系・目的別インデックス

• ［0254］応力値と応力状態の違い

• ［0256］MSCRによる応力解析の数理的背景

• ［0167］主応力解析 by モールの応力円リバース

• ［0233］MSCRの測定から解析例まで

• ［0262］MSCRの適用範囲

従来のモールの応力円との違い

• 通常のモールの応力円：主応力が既知の場合に、各方向の応力を推定するために使用します。

• モールの応力円リバース：複数方向の実測値（応力とせん断応力）から、主応力や応力状態を推定・再構築します。

仕組みと利点

• 多方向からのデータ測定：2〜8方向から応力とせん断応力を測定します。

• 円フィッティング：測定したデータがモールの応力円になることを利用し、これらの点を円にフィットさせます。

• 誤差の相殺：異なる測定方向からのデータを平均化することで、測定値の誤差を相殺し、精度を向上させます。

• 3次元応力場の把握：この手法により、表面近傍における複雑な三軸応力状態や、物理的制約で主応力方向が測定できない場合でも、応力状態を正確に把握できます。

• 応力状態の直感的理解：モールの応力円という図形で結果を表現するため、主応力の方向、変化の傾向、誤差の広がりなどが直感的に理解できます。

適用例

• 複雑な形状の部品や、複雑な残留応力が発生する熱処理後の部品。

• 疲労試験前後での応力状態の変化追跡。

• 加工後の部品における応力状態の評価。

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■ 1. なぜ「リバース」なのか？〜理論と実装の違い〜

モールの応力円は、既知の応力状態から、あらゆる方向の応力・せん断応力を計算で求めるために使われてきました。

それに対しリバース法は、以下のように測定値から“主応力”を推定します：

■ 2. 測定方法のキモ：cosα法との相性の良さ

cosα法では、**2次元の回折環（デバイリング）**から、法線応力（σ）とせん断応力（τ）を同時に測定できます。

• sin²ψ法：せん断応力が直接測定できない
  
  

• cosα法：せん断応力までデータとして得られる
  
  

→ この“せん断応力”をプロットに積極的に活用する点が、モールの応力円リバースの中核です。

■ 3. 精度の仕組み：誤差の相殺とフィッティング

▶ 誤差の相殺

例えば、0°と180°、90°と270°のように180度対称の測定値を平均すると、z軸方向のせん断応力（τxzやτyz）などの不要成分が理論上打ち消されます。

▶ フィッティングによる最適化

• 各方向（最大8方向）の(σ, τ)点をグラフにプロット
  
  

• 最小二乗法または目視で円フィッティング
  
  

• 主応力の方向と大きさを取得
  
  

→ 測定点数が増えるほどGPSの衛星数が増えるのと同様に、位置（応力状態）が正確になります。

■ 5. 誤解されやすい点（FAQ）

• Q：sin²ψ法でもできるのでは？
  → sin²ψ法ではτ（せん断応力）の実測値が得られず、リバース解析は困難です。
  
  

• Q：モールの応力円の数式を使わないとダメ？
  → 本手法は視覚的・図形的解析が主体であり、式に弱い人でも使えるように設計

モールの応力円リバース(MSCR) 技術体系 導線マップ

【A. 基礎レベル（従来理論ゾーン）】

   ├─ [0197] ロゼットゲージによる主応力解析（旧来手法）

   ├─ [0199] モールの応力円：原理・方向変換・溶接例

   └─ [0219] モールの応力円の扱い（教科書レベルの基礎）

        ↓ 基礎を理解後、次の段階

-------------------------------------------------------

【B. 準基礎レベル（リバース解析の概念導入）】

   ├─ [0167] 主応力解析 by モールの応力円リバース

   ├─ [0173] 測定できない方向の応力を推定する（応用の入口）

   └─ [0212] 次元の違う応力解析手法（従来とリバースの比較）

        ↓ ここで“リバースの基本概念”を理解

-------------------------------------------------------

【C. 中核レベル（モールの応力円リバースの中心ページ）】

▶ **【中心】 [0245] モールの応力円リバース解析 総括（総本山）**

※ 全ページは最終的にここへ収束する構造

        ↓ この総括から下位の技術的ページへ展開

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【D. 分解レベル（難易度別に三層構造）】

   【初心者向け】

   └─ [0254] 初心者向けモールの応力円リバース

        ・概念の図示

        ・σとτの違い

        ・なぜ“リバース”と呼ぶのか

   【中級者向け】

   └─ [0255] モールの応力円リバースの“技術的仕組み”

        ・σ＋τの活用

        ・多方向測定

        ・誤差相殺

        ・円フィッティング

   【上級者向け】

   └─ [0256] 数理的背景（数式による裏付け）

        ・座標変換

        ・円の最適フィッティング

        ・誤差分布

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【E. 実務・応用レベル（現場で役立つページ群）】

   ├─ [0233] 測定〜解析例（実測例：8方向・疲労・溶接）

   ├─ [0239] 2次元・全方向・応力変化の可視化

   ├─ [0262] 適用範囲：せん断応力が必要な場合

[0173]測定できない方向の応力を推定する。モールの応力円リバース 

[0199]モールの応力円 技術内容と溶接の例 

[0245]モールの応力円リバース解析総括 

[0256]上級者・研究者向けモールの応力円リバースによる応力解析の数理的背景 

[0167]主応力解析byモールの応力円リバース 

[0255]中級者向け解説：モールの応力円リバースの“技術的な仕組み”とは？ 

[0254]初心者向けモールの応力円リバース 

[0239] 2次元・全方向・モールの応力円で見る応力変化 

[0212] 次元の違う応力解析手法-モールの応力円リバース